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初等数论练习题答案

LOL电竞比分网 www.nuygug.com.cn 2 解:易知1271≡50(mod 111)。

由502 ≡58(mod 111), 503 ≡58×50≡14(mod 111),509≡143≡80(mod 111)知5028 ≡(509)3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70(mod 111)

从而5056 ≡16(mod 111)。

故(127156+34)28≡(16+34)28 ≡5028≡70(mod 111)

三、证明题

1、已知p 是质数,(a,p )=1,证明:

(1)当a 为奇数时,a p-1+(p-1)a

≡0 (mod p);

(2)当a 为偶数时,a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。

证明:由欧拉定理知a p-1≡1 (mod p)及(p-1)a ≡-1 (mod p)立得(1)和(2)成立。

2、设a 为正奇数,n 为正整数,试证n 2a ≡1(mod 2n+2)。 (1)

证明 设a = 2m + 1,当n = 1时,有

a 2 = (2m + 1)2 = 4m (m + 1) + 1 ≡ 1 (mod 23),即原式成立。

设原式对于n = k 成立,则有

k a 2≡ 1 (mod 2k + 2) ?k a 2= 1 + q 2k + 2, 其中q ∈Z ,所以 12+k a = (1 + q 2k + 2)2 = 1 + q '2k + 3 ≡ 1 (mod 2k + 3),

其中q '是某个整数。这说明式(1)当n = k + 1也成立。

由归纳法知原式对所有正整数n 成立。

3、设p 是一个素数,且1?k ?p-1。证明:k

p 1C - ≡ (-1 )k (mod p )。

证明:设A=!

)()2(1C 1k k p p p k

p ---=- )( 得: k!·A =(p-1)(p-2)…(p-k )≡(-1)(-2)…(-k )(mod p )

又(k!,p )=1,故A = k p 1

C - ≡ (-1 )k (mod p ) 4、设p 是不等于3和7的奇质数,证明:p 6≡1(mod 84)。

说明:因为84=4×3×7,所以,只需证明:

p 6≡1(mod 4) p 6≡1(mod3) p 6≡1(mod 7) 同时成立即可。 证明:因为84=4×3×7及p 是不等于3和7的奇质数,所以